导数篇

罗尔中值定理

结论：

  • 如果函数f(x)满足
  1. 在闭区间[a,b]上连续;
  2. 在开区间(a,b)可导;
  3. 在区间端点处的函数值相等, 即f(a) = f(b)
    那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b),使得f'(x) = 0

证明：

费马引理 设函数f(x)在点X0的某领域U(X0)内有定义,并且在X0X0出可导,如果对任意的x∈U(X0)，有
f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),
那么 f'(x0) = 0

拉格朗日中值定理

结论：

  • 如果函数f(x)满足
  1. 在闭区间[a,b]上连续;
  2. 在开区间(a,b)可导;
    那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b),使等式

f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)

证明：

这里太长到时候Copy

柯西中值定理

结论:

  1. 在闭区间[a,b]上连续;
  2. 在开区间(a,b)可导;
  3. 对任一 x ∈(a,b) , F'(x) ≠ 0,
    那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式
    f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(ξ)}{F'(ξ)}

证明:

这里太长到时候Copy

向量篇

单位向量 e 的模为1

e=α∣α∣=1∣α∣e = \frac{α}{|α|} = \frac{1}{|α|}

若b∥ab ∥ a成立，使得存在一个λ，使 b = λa

向量公式

  1. cos(θ)=∣α∗β∣∣α∣∗∣β∣cos(θ)=\frac{|α*β|}{|α|*|β|}
  2. α+β=β+αα +β = β + α (交换律)
  3. (α+β)+c=α+(β+c)(α + β)+c = α + (β+c)(结合律)
  4. β−α=β+(−α)β-α = β+(-α)
  5. ∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣|α+β|≤|α|+|β|$
  6. ∣α−β∣≤∣α∣+∣β∣|α-β|≤|α|+|β|$
  7. ∣λα∣=∣λ∣∗∣α∣|λα| = |λ|*|α|
  8. (λ+μ)∗α=λα+μ∗α(λ+μ)*α = λα+μ*α
  9. α∗β=∣α∣∗∣β∣∗cos(θ)α*β = |α| * |β| *cos(θ)